DP 동적 계획법을 파이썬으로 구현하는 피보나치 수열 백준 2748

2025-05-11

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피보나치 수열은 동적 계획법(Dynamic Programming)의 대표적인 학습 예제로, 단순하지만 알고리즘의 핵심 원리를 이해하는데 매우 효과적인 주제이다. 이 글에서는 피보나치 수열의 개념부터 효율적 구현 방법까지 심층적으로 분석하였다.

🔍 동적 계획법의 개념과 원리

동적 계획법은 복잡한 문제를 작은 부분 문제들로 나누어 해결하는 알고리즘 설계 기법이다. 큰 문제를 작은 문제로 분할하여 각 하위 문제의 해를 계산하고, 이를 저장하여 상위 문제를 해결하는 방식으로 작동한다4.

1. 동적 계획법의 핵심 조건

– 동적 계획법을 적용하기 위한 두 가지 필수 조건이 존재한다15.
– 최적 부분 구조(Optimal Substructure): 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있어야 한다3.
– 중복되는 부분 문제(Overlapping Subproblem): 동일한 작은 문제가 반복적으로 등장해야 한다3 15.

2. 메모리를 통한 효율성 향상

– 동적 계획법은 메모리 공간을 활용하여 연산 횟수를 획기적으로 줄인다13.
– 이미 계산된 결과를 저장하고 재활용함으로써 중복 계산을 방지한다3 4.
– 이를 통해 시간 복잡도를 크게 개선할 수 있다5.

📊 피보나치 수열 소개

피보나치 수열은 0과 1로 시작하여 이전 두 항의 합으로 다음 항을 결정하는 수열이다8.

1. 피보나치 수열의 정의

– 수학적 정의: Fn = Fn-1 + Fn-2 (n ≥ 2)
– 초기값: F0 = 0, F1 = 1
– 수열: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

2. 피보나치 구현의 문제점

– 단순 재귀로 구현할 경우 동일한 계산이 반복되는 심각한 비효율이 발생한다7.
– 예를 들어 F(5)를 구할 때, F(3)이 여러 번 계산되며, 이는 F(n) 값이 증가할수록 기하급수적으로 연산량이 증가한다6.
– F(40)를 단순 재귀로 계산할 경우 무려 10초 이상의 시간이 소요된다7.

💡 동적 계획법 구현 방식

동적 계획법에는 두 가지 주요 구현 방식이 존재한다. 각각의 특징과 장단점을 살펴보자14.

https://www.acmicpc.net/problem/2748

1. 하향식(Top-down) 접근: 메모이제이션

메모이제이션(Memoization)은 이미 계산한 값을 메모리에 저장하여 재활용하는 기법이다5.

– 작동 원리:
– 큰 문제에서 작은 문제로 분할하며 재귀적으로 접근한다6.
– 계산된 결과를 캐시(배열 등)에 저장하고 중복 계산을 방지한다5 6.
– 필요한 부분 문제만 계산하는 ‘레이지 밸류에이션(Lazy Evaluation)’ 특성을 가진다.

– 파이썬 코드 구현:

cache = [-1] * 91
cache[0] = 0
cache[1] = 1

def f(n):
    if cache[n] == -1:
        cache[n] = f(n-1) + f(n-2)
    return cache[n]
    
print(f(int(input())))

2. 상향식(Bottom-up) 접근: 타뷸레이션

타뷸레이션(Tabulation)은 작은 문제부터 순차적으로 해결하며 테이블을 채우는 방식이다5.

– 작동 원리:
– 가장 작은 부분 문제부터 시작하여 큰 문제로 확장한다10.
– 반복문을 사용하여 모든 부분 문제를 차례대로 계산한다5.
– 재귀 호출을 사용하지 않아 스택 오버플로우 위험이 없다5.

– 파이썬 코드 구현:

N = int(input())
cache = [-1] * 91
cache[0] = 0
cache[1] = 1

for i in range(2, N+1):
    cache[i] = cache[i-1] + cache[i-2]
    
print(cache[N])

📈 시간복잡도 및 성능 비교

두 구현 방식의 효율성과 성능을 비교해보자.

1. 단순 재귀 vs 동적 계획법

– 단순 재귀: O(2^n)의 시간복잡도를 가진다7.
– F(40) 계산 시 약 10억 번 이상의 연산 필요7.
– F(90) 계산은 현실적으로 불가능한 수준의 연산량 발생7.

– 동적 계획법(메모이제이션): O(n)의 시간복잡도7 9.
– F(30) 계산 시 단 59번 정도의 함수 호출만 발생7.
– F(90) 계산도 즉시 처리 가능7.

2. 메모이제이션 vs 타뷸레이션

– 메모이제이션 장점:
– 필요한 부분 문제만 계산하여 불필요한 연산을 줄인다14.
– 문제 구조를 직관적으로 이해하기 쉽다10.

– 타뷸레이션 장점:
– 재귀 호출이 없어 더 빠르게 동작한다10.
– 메모리를 더 효율적으로 사용할 수 있다5 10.
– 스택 오버플로우 위험이 없다5.

🛠️ 피보나치 구현 시 고려사항

실제 코딩 시 주의해야 할 점과 최적화 방안을 살펴보자.

1. 오버플로우 처리

– 피보나치 수열은 n이 커질수록 값이 급격히 증가한다7 8.
– 언어별 정수 범위를 초과할 수 있으므로 큰 수 처리가 필요하다.
– 파이썬은 자동으로 큰 정수를 처리하지만, 다른 언어는 별도 처리가 필요하다.

2. 공간 복잡도 최적화

– 슬라이딩 윈도우 기법:
– 피보나치 계산 시 모든 중간값을 저장할 필요가 없다10.
– 최근 두 값만 유지하면 O(1)의 공간복잡도로 구현 가능하다.

def fibonacci_optimized(n):
    if n <= 1:
        return n
    a, b = 0, 1
    for _ in range(2, n+1):
        a, b = b, a+b
    return b

3. 응용 사례: 함수 호출 횟수 계산

– 피보나치 함수 호출 시 0과 1의 호출 패턴도 피보나치 수열을 따른다9 12.
– 이를 활용한 백준 1003번 문제 해결 방법:

def fibo_count(n):
    zero = [1, 0]
    one = [0, 1]
    
    for i in range(2, n+1):
        zero.append(zero[i-1] + zero[i-2])
        one.append(one[i-1] + one[i-2])
        
    return zero[n], one[n]

📚 결론 및 학습 포인트

동적 계획법은 알고리즘 문제 해결의 핵심 기법으로, 피보나치 수열은 이를 학습하기 위한 완벽한 예제이다.

1. 동적 계획법의 가치

– 중복 계산을 효율적으로 제거하여 기하급수적인 성능 향상을 이끌어낸다5 7.
– 단순한 메모리 활용으로 시간복잡도를 O(2^n)에서 O(n)으로 개선한다7.
– 알고리즘 설계에서 시간과 공간의 트레이드오프를 잘 보여주는 예시이다6.

2. 실전 활용 팁

– 문제를 작은 부분으로 나누는 방법을 먼저 고민하라3 4.
– 부분 문제 간의 관계(점화식)를 명확히 정의하라14.
– 메모이제이션과 타뷸레이션 중 문제 특성에 맞는 방식을 선택하라10.
– 상태 공간을 최소화하여 메모리 효율성을 높이는 방법을 고려하라10.

3. 학습 경로 제안

– 피보나치 수열 → 최장 증가 부분 수열(LIS) → 배낭 문제(Knapsack) → 편집 거리(Edit Distance)
– 점점 복잡한 DP 문제로 확장하며 접근 방식의 패턴을 익히는 것을 권장한다.

texttimeline 1202 : 피보나치 수열 최초 소개 (레오나르도 피보나치) 1950년대 : 동적 계획법 개념 확립 (리처드 벨만) 1960년대 : 컴퓨터 과학에 DP 적용 시작 2000년대 : 알고리즘 인터뷰 및 경진대회에서 필수 주제로 자리매김

동적 계획법은 단순히 알고리즘 기법을 넘어 문제 해결의 사고방식을 변화시키는 패러다임이다. 피보나치 수열의 단순한 예제를 통해 DP의 강력함을 경험하고, 더 복잡한 문제에도 이 원리를 적용해 보길 권장한다.

DP 동적 계획법을 파이썬으로 구현하는 피보나치 수열 백준 2748

🔍 동적 계획법의 개념과 원리

1. 동적 계획법의 핵심 조건

2. 메모리를 통한 효율성 향상

📊 피보나치 수열 소개

1. 피보나치 수열의 정의

2. 피보나치 구현의 문제점

💡 동적 계획법 구현 방식

1. 하향식(Top-down) 접근: 메모이제이션

2. 상향식(Bottom-up) 접근: 타뷸레이션

📈 시간복잡도 및 성능 비교

1. 단순 재귀 vs 동적 계획법

2. 메모이제이션 vs 타뷸레이션

🛠️ 피보나치 구현 시 고려사항

1. 오버플로우 처리

2. 공간 복잡도 최적화

3. 응용 사례: 함수 호출 횟수 계산

📚 결론 및 학습 포인트

1. 동적 계획법의 가치

2. 실전 활용 팁

3. 학습 경로 제안

Citations:

백준 1018 파이썬 체스판 다시 칠하기 문제 완전 해석

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